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Voici les équivalents en 0 des fonctions qui sont une puissance de 1+x ou 1-x, telles que la racine ou l’inverse.

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Équivalents usuels. Ci-dessous α ∈ R est une constante. Équivalents classiques au voisinage de 0. ex −1 ∼ x sin x ∼ x cos x − x2 1 ∼ −. 0 0.

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Comparaison des fonctions usuelles Soient α, β et γ des réels strictement positifs. • En +∞: (lnx)α = o x→+∞ ³ xβ ´ et xβ = o x→+∞ ¡ eγx ¢ • En 0 et −∞: |lnx|β = o x→0 µ 1 xα ¶ et eγx = o x→−∞ µ 1 |x|α ¶ Équivalents classiques pour les fonctions en 0 ln(1+x) ∼ x→0 x e −1 ∼ x→0 x sin x∼ ...

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Utilisation d'un nombre dérivé, équivalents classiques en 0 0. Produits, quotients et puissances. Substitution dans un équivalent. Sommes et différences. Composition. Utilisations. Pour déterminer une limite. Pour étudier un signe. Pour étudier la convergence d'une série. Comment calculer un équivalent ?

http://les.mathematiques.free.fr › Documents › 2008_2009 › Fiche › 10-fiche-limites-equivalents-usuels.pdf

Comparaison des fonctions usuelles Soient α, β et γ des r´eels strictement positifs. • En +∞ : (lnx)α = o x→+∞ “ xβ ” et xβ = o (eγx) • En 0 et −∞ : |lnx β = o x→0 „ 1 x α « et eγx x→−∞ „ 1 |x| « Equivalents classiques pour les fonctions en 0´ ln(1 + x) ∼ x→0 x ex − 1 ∼ x→0 x sinx ∼ x→0 ...

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Équivalents en 0 : Tous ces équivalents peuvent être retrouvés par exemple en prenant le premier terme non nul du développement limité de la fonction considérée en 0. Ces équivalents vous serviront dans le chapitre séries entières en prépa .

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Formules de développements limités usuels, et développement en série entière et équivalent en 0

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Équivalents usuels. Proposition : Soit u:I →R u: I → R et a∈ I a ∈ I. Si u u est dérivable en a a et si u′(a)≠ 0 u ′ (a) ≠ 0, alors u(x)−u(a)∼a u′(a)(x−a) u (x) − u (a) ∼ a u ′ (a) (x − a).

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En + et en - , un polynôme est équivalent à son monôme non nul de plus haut degré. En 0, un polynôme est équivalent à son monôme non nul de plus bas degré. Exemples : _ Limite en - de 2 – 3x x2 + x + 1? 2 – 3x x2 + x + 1 ~ - x3 x2 ~ - x. Donc lim x → – f(x) = + _ Equivalent en 0 de x3 + 3x2 – 4x ? x3 + 3x2 – 4x ~ 0 - 4x

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au voisinage de 0, un polynôme est équivalent à son terme de plus bas degré. Proposition 3 (Équivalents usuels en 0) Si une fonction f est dérivable en a avec f′(a) 0, 6= alors. f(x) − f(a) ∼x→a f′(a)(x − a). On en déduit les équivalents usuels suivants au voisinage de 0 : ln(1 + x) ∼0 x, sin x ∼0 x, ex − 1 ∼0 x, (1 + x)α − 1 ∼0 αx. .3 Propriétés.