http://bmm.univ-lyon1.fr › bmm › data › cours › algebre_lineaire › al2_tout.pdf

Les applications linéaires sont des morphismes d’espace vectoriel, c’est-à-dire des applications d’un espace vectoriel dans un autre espace vectoriel. C’est tout l’objet de ce chapitre 2. 1 Généralités. Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur et f une application de E dans F.

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Une application linéaire transforme un segment de droite en un segment de droite, puisque ⃗ ⃗ . ⃗ ⃗ Exemples : ℝ ℝ est une application linéaire. Plus généralement, la donnée de combinaisons linéaires des coordonnées de définit une application linéaire ℝ → ℝ

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Définition (Application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y). L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F).

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Dé nition 1.1 (Applications linéaires) On dit qu'une application f : E ! F est linéaire si : 1 8(~u;~v) 2E2, f(~u+ E ~v) = f(~u)++ F f(~v) 2 8~u2E, 8 2K, f( E ~u) = F f(~u) L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E;F). Un élément de L(E;E), noté plus simplement L(E), s'appelle un endomorphisme de E.

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Introduction. Comme nous l’avons vu au chapitre 2, la notion d’application linéaire est indépendante de la notion de base d’un espace vectoriel. Toutefois, travailler avec des applications linéaires dont les espaces vectoriels sont munis d’une base, permet d’énoncer, comme nous allons le découvrir, d’autres propriétés très intéressantes.

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Applications linéaires. François DE MARÇAY. Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France. Introduction. Homomorphismes linéaires entre espaces vectoriels.

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Une application lin´eaire est une fonction qui est ”compatible” avec les op´erations + et .sur les espaces vectoriels. (l’image d’une combinaison lin´eaire est la combinaison lin´eaire des images)

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Soient E,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plus simples f :E → F sont linéaires. Definition : f :E → F est linéaire si, pour tout ~u,~v ∈ E et tout λ ∈ R, on a f(~u +~v)=f(~u)+f(~v), f(λ~u)=λ·f(~u). Exemple : A~u =~v. On varie ~u dans Rn et on obtient une application, linéaire. Théorème. Toute application ...

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Définition 1. Soient E et F deux R-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans F toute application f de E dans F telle que. pour tous u et v dans E, on a f (u Å v) Æ f (u)Å f (v); pour tous u dans E et dans , on a f ( u) Æ f (u). ̧ ̧. Cette définition équivaut à la suivante.

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1 Généralités. Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur et f une application de E dans F. On dit que f est une application linéaire si et seulement si l’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images. Autrement dit : ∀ x , y ∈ E et ∀ λ , μ ∈ , f x + μ y ) = λ f ( x ) +μ f ( y ) Et plus généralement :