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Méthodes : Espaces vectoriels. Démontrer qu'une partie est/n'est pas un sous-espace vectoriel. La méthode en vidéo!

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Exemples : $\mathbb K^n$, $\mathbb K[X]$, $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont des espaces vectoriels. Si $A$ est un ensemble, l'ensemble $\mathcal F(A,\mathbb K)$ des fonctions de $A$ dans $\mathbb K$ est lui aussi un espace vectoriel. En particulier, l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. à valeurs complexes) est un $\mathbb R ...

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Exemples : $\mathbb K^n$, $\mathbb K[X]$, $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont des espaces vectoriels. Si $A$ est un ensemble, l'ensemble $\mathcal F(A,\mathbb K)$ des fonctions de $A$ dans $\mathbb K$ est lui aussi un espace vectoriel. En particulier, l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. à valeurs complexes) est un $\mathbb R ...

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Définition : Un -espace vectoriel (ou e.v.) est un ensemble muni de deux lois : - Une addition sur )telle que ( soit un groupe commutatif, c’est-à-dire : i. )⃗ ⃗ et ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗ ) ii. ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ iii. ( ⃗ il existe ⃗ tel que ⃗ ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ .

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Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. 1) Montrer que la suite (Ker(f k)) est croissante pour l’inclusion et que la suite (Im(f k)) est décroissante pour l’inclusion. 2) Montrer qu’il existe un entier naturel r tel que Ker(f r)) = Ker(f r + 1)) 3) Montrer que pout tout entier n ≥ r : Ker(f n)) = Ker(f n + 1))

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Remarque 14 — Pour montrer qu’un ensemble (F,+,.) est un espace vectoriel, on montrera le plus souvent que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel (E,+,.) plus grand et que l’on

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Notion d’espace vectoriel. On consid`ere un ensemble E sur lequel on suppose d ́efinies − une loi de composition interne not ́ee additivement (+) − une loi de composition externe, not ́ee multiplicativement (.), de K. × E dans E. D ́efinition 1 – On dit que E est un espace vectoriel sur K si.

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On fixe un espace vectoriel E sur K. On note et des scalaires puis u , v et w des vecteurs de E. Par convention ( e ) , l’écriture u v désigne le vecteur u +( v ), c’est-à-dire

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Définition : On dit qu’un espace vectoriel est de dimension finie si admet une famille génératrice finie. Exemples : On a vu que 𝕂𝑛 et 𝕂 𝑛[𝑋] sont des espaces vectoriels de dimension finie. Proposition [: 𝕂𝑋] n’est pas un espace vectoriel de dimension finie.