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Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions. Calculer $I_n=\int_0^1 f_n(t)dt$ et $\lim_{n\to+\infty}I_n$. En déduire que la suite $(f_n)$ n'est pas uniformément convergente sur $[0,1]$.

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Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur ℝ+ par : ∀𝑛≥0,∀𝛼≥0, (𝑥)=𝑛 𝛼 𝑥 − 𝑥 Allez à : Correction exercice 2

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Écrire la définition de la convergence d’une suite(u n) avec les “ε”. Comme on a une proposition qui est vraie pour tout ε >0, c’est en particulier vrai pour ε =1. Cela nous donne un “N”. Ensuite séparez la suite en deux: regardez les n<N (il n’y a qu’un nombre fini de termes) et lesn⩾N (pour lequel on utilise notre ε =1).

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Exercices corrigés sur les suites, démonstrations de convergence: suites monotones et bornées, convergence monotone, et théorème du point fixe.

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Soit $(U_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur $[0,1]$. On note $M_n=\max(U_1,\dots,U_n)$ et $X_n=n(1-M_n)$. Quelle est la fonction de répartition de $X_n$? Étudier la convergence en loi de la suite $(X_n)$.

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Calculs de limites. Démonstrations par récurrence. Convergence monotone et point fixe. Théorèmes de comparaison, théorème des gendarmes. Exercices complets avec suite auxiliaire et sommes et produit des termes.

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La suite de fonctions (f n) n∈N converge simplement sur R vers la fonction nulle. Convergence uniforme sur R. On peut noter tout de suite que pour tout n ∈N∗, f n 1 n = 1 2 et donc ∥f n∥ ∞ ⩾ 1 2. On en déduit que ∥f n∥ ∞ ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞. La suite de fonctions (f n)

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Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes : $f_n(x)=\frac{\sin nx}{n\sqrt{x}}$ sur $\mtr_+^*$; $f_n(x)=(\sin x)^n \cos(x)$ sur $\mathbb R$.

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En déduire que la suite est convergente. Déterminer la limite de la suite ( ) ≥0. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer qu’elles sont évidentes ; Soit ( ) ≥0 la suite de nombres réels définie par 0∈]1,2] et par la relation de récurrence ( )2 3 +1= +. 4 4.