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Résumé de cours : applications linéaires. K désigne le corps R ou C, E et F deux espaces vectoriels sur K. Applications linéaires. Une application f: E → F est appelée une application linéaire si, pour tous x, y ∈ E et tous λ, μ ∈ K, on a f(λx + μy) = λf(x) + μf(y).

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Les applications linéaires constituent un chapitre considérable des mathématiques modernes, tant par sa densité au-delà de son développement propre : calcul matriciel ; théorie des déterminants ; formes quadratiques ; espaces fonctionnels... ; que par l'importance de son emploi dans les autres sciences : Recherche opérationnelle ; Sciences écono...

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1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR Chapitre VI Applications linéaires Dans ce cours, désigne ℝ, ℂ ou un corps commutatif quelconque. I – Généralités 1. Définition Soient et deux -ev donnés. Une application ⃗ ⃗ est dite linéaire si ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ .

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Définition (Application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y). L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F).

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Dé nition 1.1 (Applications linéaires) On dit qu'une application f : E ! F est linéaire si : 1 8(~u;~v) 2E2, f(~u+ E ~v) = f(~u)++ F f(~v) 2 8~u2E, 8 2K, f( E ~u) = F f(~u) L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E;F). Un élément de L(E;E), noté plus simplement L(E), s'appelle un endomorphisme de E.

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Introduction. Comme nous l’avons vu au chapitre 2, la notion d’application linéaire est indépendante de la notion de base d’un espace vectoriel. Toutefois, travailler avec des applications linéaires dont les espaces vectoriels sont munis d’une base, permet d’énoncer, comme nous allons le découvrir, d’autres propriétés très intéressantes.

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Dans ce cours l’ensemble K d´esigne R ou C. On dira que K est un corps. 1 Applications lin´eaires Premi`eres notions D´efinition 1 (Application lin´eaire) Soient E,F deux K-espaces vectoriels. On dit que la fonction f: E→F est une application lin´eaire si : ∀x,y∈E,λ∈K, f(x+ λ.y) = f(x) + λ.f(y)

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Les applications suivantes sont-elles linéaire? 1. Soit E un K espace vectoriel et k∈ K. L'application de E dans E:x→ k· x appelée homothétie vectorielle de rapport k. 2. L'application de R dans R telle que x→ x2. Propriété 1. Si f est une application linéaire de E dans E′ alors on a f(0 E)=0 E′. Exemple 2. 1. Montrer la ...

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Exemples 2.3.(1) La notion d’application linéaire dans le plan euclidien V = R2 ou dans l’espace euclidien V = R 3 est connue dans les cours de géométrie de l’enseignement secondaire, puisqu’on y parle de projections, sur une droite, ou sur un plan.