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Notation 1-1-6: On note {x| p(x)} l’ensemble form´e des ensembles xqui v´erifient la propri´et´e p(x). Par exemple, {x | x∈ R et ax 2 + bx+ c= 0} est l’ensemble des solutions r´eelles d’une ´equation du

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THÉORIE DES ENSEMBLES Nous donnons dans ce chapitre une introduction rapide à la thØorie des ensembles per-mettant de fonder toute la mathØmatique. Nous verrons que tout objet mathØmatique est un ensemble. Version du 15 octobre 2005 Claude Portenier ANALYSE 17

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Introduction à la théorie des ensembles I.1Notions sur les ensembles I.1.1Construction par extension et compréhension Intuitivement, un ensemble est une collection d’objets deux à deux distincts appelés éléments. On peut définir un ensemble de deux manières : —en extension : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent;

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1.1. Définir des ensembles • On va définir informellement ce qu’est un ensemble : unensemble est une collection d’éléments. • Exemples : {0,1}, {rouge,noir}, {0,1,2,3,...}= N. • Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément. • On note x ∈E

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Dans la théorie des ensembles, la notion d’ensemble est primitive. Un ensemble est déterminé par ses éléments (cf., l’axiome d’extensionalité). À partir de deux formules élémentaires x y (x appartient à y) et. x = y (x est égal à y), on construit des formules moyennant des 2 connectives logiques : :; _; ^; =); ();

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1.2.2 Ensemble des parties D´efinition.—Soient E un ensemble. On appelle ensemble des parties de E l’ensemble, not´e P(E) constitu´e des sous-ensembles de E. On remarquera bien que les ´el´ements de P(E) sont des ensembles. Exemples: Si E = {x,y} alors P(E) = {∅,{x},{y},E} On a P(∅) = {∅} de mˆeme, P(P(∅)) = {∅,{∅}}

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I des règles I et des axiomes de façon à ce que l’on retrouve la théorie des ensembles dans le sens intuitif qu’on lui connaît.

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Chapitre 1. Ensembles et applications. Table des mati`eres. Ensembles: introduction. Ensembles finis. Ensembles: introduction. D ́efinition. On appelle ensemble une collection des objets. Ces objets sont appel ́es les ́el ́ements de l’ensemble. Exemples. N = l’ensemble de tous les nombres entiers positifs.

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2.6 L’axiome de la parie s’énonce ainsi : Si x et y sont deux ensembles, il existe un ensemble {x, y} dont les éléments sont exactement x et y. On peut également définir le singleton {a} comme l’ensemble {a, a}. Comme {a, b} = {b, a} ; on définit également la paire ordonnée. 2.7 Definition. Soient a, b deux ensembles.

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Un ensemble est correctement défini lorsqu’on sait exactement quels éléments lui appartiennent. Deux ensembles sont égaux si, et. seulement s’ils contiennent les mêmes éléments. (Ici, « E contient a » signifie que l’élément a appartient à l’ensemble E). EXEMPLES. Une droite, un cercle, plus généralement une figure, sont des ensembles de points.