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Développement asymptotique de la série harmonique. Leçons : 223, 224, 230. [X-ENS An1], exercice 3.18. n 1. On pose, pour tout n > 1, Hn = ; cherchons le développement asymptotique de Hn quand n tend. k=1. vers l’infini. 1. Posons, pour n 2 , un = Hn. ln n et vn = un. ; on va montrer que En effet : Déjà, 8n 2 , un vn = > 0 et. N n.

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Développement : Développement asymptotique de la série harmonique. Détails/Enoncé : Soit $H_n = \sum_ {k=1}^n \frac {1} {k}$. Il existe $\gamma > 0$ tel que $H_n -\ln (n) \to \gamma$. $H_n = \ln (n) + \gamma + \frac {1} {2n} + o (1/n)$ On pose $h_n = \min\ { k \in \mathbb {N} : H_k \ge n\}$. Alors $h_ {k+1}/h_k \to e$.

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Exercice 1 - Développement asymptotique de la série harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$.

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Ce document présente la démonstration du théorème de Stieltjes sur le développement asymptotique de la série harmonique, ainsi que ses conséquences et ses applications. Il contient aussi des exemples, des exercices et des références.

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Développement asymptotique de la série harmonique. Achille Méthivier. Théorème 1. Soit. (Hn)n∈N∗. la suite des sommes partielles de la série harmonique, définie pour n ∈ N∗, n. Hn X 1 = . k. k=1. Alors, pour r ∈ N∗, la suite (Hn)n∈N∗ admet le développement asymptotique à l’ordre. r suivant. r−1. X (−1)k−1bk 1. Hn = ln(n) + γ + + O. k nk. k=2. 1.

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De plus, on a, pour On obtient ainsi le développement asymptotique. 1Hn = ln(n) + γ + − +. 2n2 n2kn+1 • Montrons que lim = e.n→∞ k. On sait que Hn = ln(n. nition de kn,n→∞on a ln(kn) +. et ln(kn − 1) + γ + εkn−1 < n. En passant à l’exponentielle, on obtient. ene−γ−εkn−1 + 1 > kn ≥ ene−γ−εkn. On a donc que ...

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Developpement asymptotique de la serie harmonique. Lecons 223,230. Theoreme (Developpement asymptotique de la serie harmonique) 1. Si on note pour toutn 2 N ; Hn = k=1. Alors on a: Hn = ln(n) + 1 + 1 + o 1 n! +1 2n 12n2 n2 ou > 0. Voici le plan de la demonstration: Montrer le lemme suivant: Pour tout. 1,

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On effectue un développement asymptotique à l’ordre 2 de la série harmonique ∑n1 . Agrégation Plans et développements pour l'agrégation de mathématiques 2024.