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DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 1. FORMULES DE TAYLOR 2 La partie polynomiale f (0)+ f ′(0)x +···+ f (n)(0)xn n! est le polynôme de degré n qui approche le mieux f (x) autour de x = 0. La partie xnε(x) est le « reste » dans lequel ε(x) est une fonction qui tend vers 0 (quand x tend vers 0) et qui est négligeable devant la partie ...

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Dans un tel développement limité, la fonction polynomiale P : x → Xn k=0 a kx k est appelé partie régulière du développement limité et o(xn) est appelé reste du développement limité. Exemple 1.1.2 1.Un développement limité à l’ordre 1 d’une fonction dérivable en 0 est f(x) = x→0 f(0) + f′(0)x + o(x). Par exemple, sin(x ...

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Développements limités usuels. Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas.

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Décomposer de cette façon une fonction autour d’un point a, c’est faire un développement limité (DL) de cette fonction au point aà l’ordre n. Le polynôme T

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Chapitre 4 : Les d ́eveloppements limit ́es. Nous avons vu au chapitre pr ́ec ́edent qu’une fonction d ́erivable peut ˆetre ap-proch ́ee par une droite (sa tangente) dans le sens o`u. f(x) = f(x0)+f (x0)(x−x0)+r(x) avec r(x) n ́egligeable devant (x−x0) quand x → x0 .

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3.Développement limité à l’ordre 3 en π 3 de h(x)=ln(sinx). Indication Correction Vidéo [001243] Exercice 3 Donner un développement limité à l’ordre 2 de f(x) = √ 1+x2 1+x+ √ 1+x2 en 0. En déduire un développement à l’ordre 2 en +∞. Calculer un développement à l’ordre 1 en −∞.

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FICHE RECAPITULATIVE DEVELOPPEMENTS LIMITES. 1) Formule de Taylor-Young : f00 (0) f (x) = f (0) + f0 (0) x + x2 + 2! f(n) (0) + xn + xn" (x) n! avec limx!0 " (x) = 0: 2) Développements limités usuels (à connaître parfaitement) : 8> + x2 + x3 + + xn + xn" (x) = 1 + x. x. ex = 1 + x x2 x3 xn. + + + + + xn" (x) 2! 3! n! x3 x2p+1.

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Dé nition (Développement limité) . Exemple 1. On sait que sin(x) ˘ 0 x, donc sin(x) = 0 x+o(x), et sinus admet un développement limité d'ordre 1 en 0 ( a 0 = 0, a 1 = 1). Sa partie régulière est x. 1.2 Propriétés Soient n 2N, x 0 2R et f une fonction à aleursv réelles dé nie au voisinage de x 0. Si f admet un développement limité ...

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Développements limités. Formule de Taylor-Young. Rappels. Soit x0 2 R, n 2 N et f une fonction définie sur un voisinage de x0. Le fait d’être dérivable en x0 pour f entraîne la continuité de f en x0.

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Nous dirons que f admet un développement limité (D.L.) en a à l’ordre n s’il existe des réels a0, a1, . . ., an et une fonction ε: I → R avec lim ε(x) = 0 tels que pour tout x ∈ I. f(x) = a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 + . . . + an(x − a)n + (x − a)nε(x).