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Exercice corrigé : Formule de Stirling - Progresser-en-mathsVoici un exercice corrigé détaillé démontrant la formule de Stirling. C'est un exercice mêlant suites, séries et intégrales.
https://www.normalesup.org › ~glafon › kaju21 › DM10.pdf
Devoir Maison n 10 - normale sup1. Calculer les aleursv de W 0, W 1 et W 2. 2. Démontrer que W n = Z ˇ 2 0 sinn(t) dt. 3. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que W n+2 = n+1 n+2 W n. 4. Montrer par récurrence que W 2n = ˇ 2 (2n)! 22n(n!)2 et W 2n+1 = 22n(n!)2 (2n+1)!. 5. Déterminer la monotonie de la suite (W n), en déduire sa convergence. 6. Déterminer la ...
https://bourrigan.fr › data › dm21-stirling-niven-parks-corrige.pdf
DM 21 : deux grands classiques [corrigé] Problème A. Wallis, Stirling ...Partie II. Formule de Stirling. On pose (u n) n2N = n!en nn+1 2 n2N. 5.(a)Déterminer un équivalent de la suite ln u n u n-1 n>2. ln u n u n-1 = ln n!en (n-1)!en-1 (n-1)n-12 nn+1 2! = ln ne (n-1)n-12 nn+1 2! = 1+ln 1-1 n n-1 2! = 1+ n-1 2 ln 1-1 n = 1- n-1 2 1 n + 1 2n2 + 1 3n3 +o(n-3) = 1- 1+ 1 2-1 2 1 n + 1 3-1 4 1 n2 +o(n-2) = - 1 12n2 +o(n ...
https://cahier-de-prepa.fr › pcsi-gaylussac › download
DM n°7 Problème 1: Formule de StirlingLe but de ce problème est de démontrer la formule de Stirling : . ! ~√2 × ( ) Partie A : Convergence de deux suites On considère les deux suites suivantes : . ∀. Déterminer un équivalent de +1 −. En déduire que ( ) converge. Montrer qu’il existe > 0 tel que : . ∈ N∗, ! = ( ) √ . = ln( ) √ !~ ( )
https://www.normalesup.org › ~glafon › kaju23 › DM10.pdf
Devoir Maison n 10 - normale sup1. Calculer les aleursv de W 0, W 1 et W 2 par la méthode de votre choix. 2. Calculer W 5 par une méthode imposée : linéarisation de sin5(t) via les formules d'Euler. 3. Déterminer la monotonie de la suite (W n). En déduire sa convergence. 4. Montrer par récurrence que, 8n2N, W 2n+1 = 22n(n!)2 (2n+1)!, et W 2n = ˇ 2 (2n)! 22n(n!)2. 5 ...
https://www.lesmath.com › 2022 › 07 › demonstration-de-la-formule-de-stirling.html
Démonstration de la formule de Stirling - LesMathNotre but est de donner la démonstration de la formule de Stirling. La preuve de cette formule est basée sur les intégrales de Wallis. L’importance de la formule de Stirling est qu’elle donne un équivalent de $n!$ ($n$ factorielle) puisqu’il est difficile de calculer ce nombre si $n$ est assez grand. Cette formule est due ...
https://major-prepa.com › mathematiques › formule-stirling
La formule de Stirling (hors programme ECG) - Major-PrépaUne des manières de démontrer la formule de Stirling est d’utiliser les intégrales de Wallis, qui ne sont pas au programme de ECG, mais qui reviennent régulièrement dans les sujets de concours.
https://perso.eleves.ens-rennes.fr › ~mbouc892 › stirling.pdf
Formule de Stirling - École normale supérieure de RennesVoici le plan de la d ́emonstration: Montrer l’ ́equivalent: 2x. Γ(x + 1) ∼ txe−tdt. x→+∞ 0. 2. Etudier l’int ́egrale. Z 2x txe−tdt. 0. lorsque x → +∞ et en d ́eduire la formule `a l’aide du th ́eor`eme de convergence domin ́ee. D ́emonstration. 1. Soit x > 0: Z +∞ Z 2x Z +∞ Γ(x + 1) = txe−tdt = txe−tdt + txe−tdt. 0. 2x.
https://www.normalesup.org › ~fjacobe › Stir.pdf
La formule de Stirling et l’int egrale de Gauss - normale supOn pose pour tout n 2 N : 2. In = sin(x)ndx. 0. L'objectif de cette partie est d'evaluer les integrales In pour n 2 N. Montrer que la suite (In)n 0 est positive et decroissante. a) En utilisant une integration par parties, montrer que pour tout n 2 N, on a : Z. 2. In+2 = (n + 1) cos(x)2 sin(x)ndx. 0.
https://fr.wikipedia.org › wiki › Formule_de_Stirling
Formule de Stirling — WikipédiaLa formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand n tend vers l'infini : lim n → + ∞ n ! 2 π n ( n / e ) n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{n\,! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({n}/{\rm {e}}\right)^{n}}=1}
