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Développement asymptotique de la série harmonique. Léo Gayral. 2017-2018. ref : FGN – Oraux X-ENS, Analyse 1 – p.156. Lemme 1. Soit α > 1. Par le critère de convergence de Riemann, la famille nα 1 est sommable. Le reste vérifie alors : ∞.

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Développement asymptotique de la série harmonique. éfér. Oraux XENS Analyse 1, Serge Francinou. Théo. Posons, pour tout n ∈ ∗, N. n 1. X Hn = / k=1. Alors, il existe γ ∈ ∗. + tel que. 1. Hn = ln(n) + γ + − + o 2n 12n2. n2 1 . γ est appelé la constante d’Euler. n{k ∈ N, Hk �. Démonstration. Posons, pour tout n ∈ N∗, un = Hn − ln(n) et vn = un − . n.

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Développement asymptotique de la série harmonique. On efectue un développement asymptotique à l’ordre. Lemme 1. Soit. on a . Lorsque tend vers. 2 de la série harmonique . [I-P] p. 380. +∞∑ 1 ∼ 1. est décroissante sur. Démonstration. La fonction série / intégrale. On a. D’où : Soit , nous allons faire une comparaison. = 1. Aire du rectangle égale à.

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Développement asymptotique de la série harmonique. Mohamed NASSIRI. Références : Analyse 1 Oraux X-ENS, Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas - p.145-147. Recasage : 224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions. • • • • 230 : Séries de nombres réels ou complexes.

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Développement asymptotique de la série harmonique. Leçons : 223, 224, 230. [X-ENS An1], exercice 3.18. n 1. On pose, pour tout n > 1, Hn = ; cherchons le développement asymptotique de Hn quand n tend. k=1. vers l’infini. 1. Posons, pour n 2 , un = Hn. ln n et vn = un. ; on va montrer que En effet : Déjà, 8n 2 , un vn = > 0 et. N n.

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Theoreme (Developpement asymptotique de la serie harmonique) 1 Si on note pour toutn 2 N ; Hn = k k=1

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On reprend la même méthode que pour prouver la divergence de la série harmonique, à savoir que l'on compare à une intégrale. En effet, pour tout

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On effectue un développement asymptotique à l’ordre 2 de la série harmonique ∑n1 .

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Pour n ∈ N∗, on note Hn := Pn 1 k=1 k les sommes partielles des termes de la série harmonique. Le but de ce développement est de démontrer le théorème suivant. Théorème. Quand n → +∞, on a Hn = log n + γ + 1 − 1 12n2 2n + o 1 n2 . Définition. Le réel γ est appelé la constante d’Euler.

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