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Tout savoir sur les récurrences doubles et fortes : Définitions, divers exemples et quelques exercices pour bien comprendre la notion.

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Raisonnement par recurrence : Exercices. Corriges en video avec le cours sur jaicompris.com. Introduction. Soit P(n) la propriete de nie pour tout entier n 1 par : n(n + 1)(n + 2) 1 2 + 2 3 + :::: + n (n + 1) = 3. ) Ecrire la propriete au rang 1, au rang 2. ) Veri er que la propriete est vraie au rang 1 et au rang 2.

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Exercice 1. (☀) Montrer que 8n > n0; 2n > n2 (l’entier n0 2 N est à déterminer). Récurrence double. Exercice 2. (☀) On considère la suite (un) définie par : 8 u0 . un+2. = 5un+1. 6un. Démontrer que, pour tout entier naturel n on a : un = 8 2n. 7 3n. Exercice 3. (☀) un) !n p p. 1 + 5. 5. Démontrer que : 8n. 2 N; un. = p. 5. p. 2 5. 2 .

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Exercice 7: Récurrence double - prépa MPSI PCSI On considère la suite $(u_n)$ définie par: $\begin{cases} u_0=u_1=-1 \\ \forall n\in\mathbb{N},~ u_{n+2} =5u_{n+1}-6u_n \end{cases}$.

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Démonstration 2 : par récurrence double . Dans l'équation (1) le calcul de u n est possible en connaissant u n 1 et u n 2: On note Q la propriété portant sur n ¥2 Qpnq: u n 3n 1 et u n 1 3pn 1q 1: Nous allons démontrer par récurrence que @n ¥2; Qpnqest vraie. 4

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Dans chaque cas, déterminer une formule de récurrence de la suite. 1 ) Chaque terme est égal au triple du terme précédent. 2 ) La somme de deux termes consécutifs est toujours égal à 5.

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1. Calculer S1, S2, S3 et S4. k=1. 2. Exprimer, pour tout n ∈ N, Sn+1 en fonction de Sn. n(n + 1)(2n + 1) 3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n > 1, Sn = . 6. Exercice 4. — Déterminer, pour tout n ∈ N, l’expression de un en fonction de n dans les exemples b) et c) de l’exercice 3 de la fiche Révision sur les suites réelles.

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Exercice 1. • Initialisation : 20 − 1 = 1 − 1 = 0 = u0. La propriété est donc vraie au rang 0. • Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n, on ait : un = 2n − 1. Hypothèse de récurrence. Montrons qu’alors on a : un+1 = 2n+1 1. −. Or on a : un+1 = 2 un +1. {z} =2n−1. = 2(2n − 1) + 1 = 2n+1 − 2 + 1 = 2n+1 − 1. par définition.

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Exercice 5 1. Soit n un entier naturel. Le triangle AB nB n+1 est rectangle en B n donc, d’après le théorème de Pythagore : AB2 n+1 = AB 2 n +B nB 2 n+1 On obtient alors u2 n+1 = u 2 n +1 2 et par conséquent, pour tout n ∈ N, u n+1 = p u2 n +1. 2. Récurrence. • Initialisation : u0 = 1 et u1 = q u2 0 +1 = p 12 +1 = √ 2 > u0 donc la ...