http://exo7.emath.fr › cours › ch_ensembles.pdf

Nous représenterons les applications par deux types d’illustrations : les ensembles « patates », l’ensemble de départ (et celui d’arrivée) est schématisé par un ovale ses éléments par des points.

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En g´eneral f g 6= g f mˆeme si f,g sont des applications d’un ensemble A dans lui-mˆeme. Par example, si f(x) = x3, g(x) = 2x (des applications de Rdans R) on a (f g)(x) = 8x3, (g f)(x) = 2x3. D´efinition Soit A un ensemble, et B ⊂ A. L’application qui a chaque ´el´ement x ∈ B associe x lui-mˆeme consid´er´e comme un ´el ...

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Soit Eun ensemble. L'ensemble des sous-ensembles (au sens de l'inclusion) de Eest appelé ensemble des parties de E, et est noté P(E): Dé nition (Ensemble des parties) . Remarque. Attention aux objets manipulés : On écrit 32R, f3gˆR et f3g2P(R). Exemple 3. Soit E= f1;2;3;4g. Déterminer P(E).

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Ensembles et applications – Fiche de cours. 1. Les ensembles. Définition. Un ensemble est une collection d’objets 2 à 2 indépendants appelés éléments On peut définir un ensemble : en compréhension (hypothèses ou propriétés que doivent posséder les éléments de l’ensemble) en extension (résultat ou liste des éléments composant l’ensemble) Propriétés.

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Les deux applications f et f−1 sont alors d ́efinies et la notation f−1(B) d ́esigne a priori deux ensembles distincts : l’image r ́eciproque de B par f et l’image directe de B par f−1. Mais si x E, dire que f(x) B ́equivaut `a dire qu’il existe y ∈ B tel que f−1(y) = x.

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4 CHAPITRE 1. ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1.2.11. Proposition-définition. —Soit f: E ! F une application d’ensembles. Si f est inversible, alors il existe une unique application de F dans E, que l’on note f 1, telle que f 1 f = Id E et que f f 1 = IdF. Cette application est appelée l’inverse de f. L’application f 1 est aussi ...

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On peut reformuler la proposition pr ec edente dans le cas de deux parties d’un m^eme ensemble. Proposition. Soient Eun ensemble et soient Aet Bdeux parties de E. On a : (i) c(A[B) = cA\cB; (ii) c(A\B) = cA[cB. Remarque. Tous les connecteurs du chapitre sur la logique ont une traduction pour les ensembles.

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Un ensemble peut être défini en extension, c’est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades : { } Par exemple : L’ensemble V des voyelles minuscules de l’alphabet français en extension est : V = {a, e, i, o, u, y} En compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

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Soient et deux ensembles non vides et une application de dans . Une application , de dans , telle que ∘ = s’appelle une section de . 1. Montrer que si admet au moins une section alors est surjective. 2. Montrer que toute section de est injective.

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Ensembles et applications I. Ensembles 1. Généralités La notion d'ensemble est une notion intuitive : c'est une collection d'objets appelés éléments. Par exemple, l'ensemble N des entiers naturels, l'ensemble Z des entiers relatifs, l'ensemble Q des rationnels et l'ensemble R des nombres réels.