https://fr.wikipedia.org › wiki › Série_harmonique

En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls : Elle tire son nom par analogie avec la moyenne harmonique, de la même façon que les séries arithmétiques et géométriques peuvent être mises en parallèle avec les moyennes arithmétiques et géométriques.

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Définition. Pour n ∈ N∗, on note Hn := Pn 1 k=1 k les sommes partielles des termes de la série harmonique. Le but de ce développement est de démontrer le théorème suivant. Théorème. Quand n → +∞, on a Hn = log n + γ + 1 − 1 12n2 2n + o 1 n2 . Définition. Le réel γ est appelé la constante d’Euler. 1 Terme en log n.

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Un exercice de mathématiques sur la série harmonique et ses développements asymptotiques. Il faut prouver des limites, des équivalents et des restes.

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On démontre un équivalent simple des restes des séries de Riemann convergentes, puis on trouve le développement asymptotique à trois termes de la série harmonique (précision : 1/n). Attention aux coquilles.

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La série harmonique Pour n naturel non nul , on pose Hn = Xn k=1 1 k. 1) Hn tend vers +∞ quand n tend vers +∞. Pour n > 1, Hn+1 −Hn = 1 n +1 > 0. Donc la suite (Hn)n∈N∗ est strictement croissante et admet ainsi une limite dans ]−∞,+∞]. Ensuite, pour n > 1, H2n −Hn = X2n k=n+1 1 k > X2n k=n+1 1 2n = n × 1 2n = 1 2.

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donc la série X t k−t k−1 converge par le théorème de sommation des équivalents et on a X+∞ k=n t k−t k−1 ∼ X+∞ k=n −1 2k2 ∼ −1 2n. Le deuxième équivalent vient d’une comparaison série-intégrale car Z k+1 k 1 t2 dt≤ 1 k 2 ≤ Z k k−1 1 t dt donc −1 t + ∞ n = 1 n ≤ X+ k=n 1 k2 ≤ −1 t +∞ n−1 = 1 n−1

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Nous allons commencer par voir la série harmonique et ses dérivées. Nous allons voir la série harmonique, puis les séries harmoniques généralisées. Dans cette section, nous ne parlerons pas des séries harmoniques alternées. La raison est qu'un futur chapitre est complètement dédié à l'analyse des séries alternées, et que nous ...

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Définition, propriétés et convergence de la série harmonique ∑ k = 1 ∞ 1 k. Découvrez des exemples, des encadrements et des intégrales liées à la série harmonique.

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Développement asymptotique de la série harmonique Références: Oraux XENS Analyse 1,SergeFrancinou Théo. Posons, pour tout n∈N∗, H n= Xn k=1 1 k / Alors, il existe γ∈R∗ + tel que H n= ln(n)+γ+ 1 2n − 1 12n2 +o † 1 n2 ‰. γest appelé la constante d’Euler. De plus, si on pose k n= min{k∈N,H k≥n}alors lim n→∞ k n+1 ...