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Un polynôme du second degré admettant deux racines distinctes peut s’écrire sous la forme factorisée . Pour étudier le signe d’un polynôme, on a besoin de connaitre les valeurs de ses racines éventuelles.

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La factorisation est utile dans plusieurs cas, notamment pour faire un tableau de signe ou résoudre des équations comme on le verra dans les exercices. Factoriser avec un facteur commun 1/2. La plupart des factorisations se font avec un facteur commun. Mais qu’est-ce qu’un facteur commun ?

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Définition 1. Soit P une fonction polynôme du second degré définie sur R. Pour tout nombre réel x, P (x) peut s’écrire sous l’une des trois formes remarquables suivantes : 1°) La forme développée réduite : (FDR) P (x) = a x 2 + b x + c ; où a, b et c sont des réels et a ≠ 0. 2°) La forme factorisée lorsque c’est possible :

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On peut écrire l’équation d’une fonction polynomiale de degré 2 sous sa forme factorisée: f (x) = a(x−x1)(x−x2) f (x) = a (x − x 1) (x − x 2) où a a, x1 x 1 et x2 x 2 sont des nombres réels jouant le rôle de paramètre. Le paramètre a a est toujours non nul.

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Factoriser un polynôme du second degré (que l’on nomme aussi « équation quadratique ») signifie le réduire l'expression de départ en un produit d'expressions de degrés plus petits que l’on peut ensuite multiplier l’une par l’autre.

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Une expression numérique ou algébrique factorisée si et seulement si, elle est écrite sous la forme d’un produit de deux ou plusieurs facteurs. EXEMPLE 1. Les expressions suivantes sont factorisées : A (x) = 2 x ; B (x) = 3 (2 x + 5) ; C (x) = (x + 1) (2 x + 3) ; D (x) = (2 x − 5) 2 et E (x) = 3 x 2 (x 2 − 1) (3 x + 2) 4. Définition 3.

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La formule de base de la factorisation est la suivante a\times b + a \times c =a \times (b+c) Les identités remarquables sont aussi des formules de factorisation.

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La forme canonique permet de factoriser toute fonction polynôme du second degré puis de résoudre systématiquement toute équation du second degré. I. Forme canonique et racines. Soit trois réels a, b, ca, b, c avec a ≠ 0a = 0 et soit la fonction polynôme du second degré PP définie pour tout réel xx par P(x) = ax2 + bx + cP (x) = ax2 + bx+ c.

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