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Développement asymptotique de la série harmonique. Leçons : 223, 224, 230. [X-ENS An1], exercice 3.18. n 1. On pose, pour tout n > 1, Hn = ; cherchons le développement asymptotique de Hn quand n tend. k=1. vers l’infini. 1. Posons, pour n 2 , un = Hn. ln n et vn = un. ; on va montrer que En effet : Déjà, 8n 2 , un vn = > 0 et. N n.

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On démontre un équivalent simple des restes des séries de Riemann convergentes, puis on trouve le développement asymptotique à trois termes de la série harmonique (précision : 1/n). Attention aux coquilles.

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Développement asymptotique de la série harmonique Achille Méthivier Théorème 1. Soit (H n) n∈N∗ la suite des sommes partielles de la série harmonique, définie pourn∈N∗, H n= Xn k=1 1 k. Alors, pour r∈N∗, la suite (H n) n∈N∗ admet le développement asymptotique à l’ordre rsuivant H n= ln(n)+γ+ rX−1 k=2 (−1)k−1b k ...

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On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite. Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du ...

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Developpement asymptotique de la serie harmonique. Lecons 223,230. Theoreme (Developpement asymptotique de la serie harmonique) 1. Si on note pour toutn 2 N ; Hn = k=1. Alors on a: Hn = ln(n) + 1 + 1 + o 1 n! +1 2n 12n2 n2 ou > 0. Voici le plan de la demonstration: Montrer le lemme suivant: Pour tout. 1,

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Développement asymptotique de la série harmonique. Léo Gayral. 2017-2018. ref : FGN – Oraux X-ENS, Analyse 1 – p.156. Lemme 1. Soit α > 1. Par le critère de convergence de Riemann, la famille nα 1 est sommable. Le reste vérifie alors : ∞. X 1 1. ∼ . k=n+1 kα (α − 1) nα−1. Démonstration.

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Développement asymptotique de la série harmonique. éfér. Oraux XENS Analyse 1, Serge Francinou. Théo. Posons, pour tout n ∈ ∗, N. n 1. X Hn = / k=1. Alors, il existe γ ∈ ∗. + tel que. 1. Hn = ln(n) + γ + − + o 2n 12n2. n2 1 . γ est appelé la constante d’Euler. n{k ∈ N, Hk �. Démonstration. Posons, pour tout n ∈ N∗, un = Hn − ln(n) et vn = un − . n.

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Développement asymptotique de la série harmonique Référence : Francinou - Gianella - Nicolas, exos X-ENS, analyse 1 Théorème. Pour n ∈ N∗, on pose H n = P n k=1 1. Alors H n admet le développement asymptotique suivant : H n = lnn+γ + 1 2n − 1 12n2 +o 1 n2 où γ est une constante strictement positive appelée constante d’Euler ...