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En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne ou division entière est une procédure de calcul qui, à deux entiers naturels appelés dividende et diviseur, associe deux autres entiers appelés quotient (quotient euclidien s'il y a ambiguïté) et reste.

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Division euclidienne. Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b, c’est trouver le quotient entier et le reste de la division de a par b. Le nombre a est appelé le dividende et le nombre b est appelé le diviseur. Exemple : Effectuons la division de 273 par 17.

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Formule de la division euclidienne de a par b: a = bq + r (avec r < b) q est le quotient euclidien de a par b et r le reste de la division euclidienne de a par b. a est multiple de b, où b divise a, si et seulement si, le reste dans la division euclidienne de a par b est égal à 0.

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Cette op´eration s’appelle la division euclidienne de a par b : Th´eor`eme Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe alors un unique couple d’entiers relatifs (q;r) tels que a = bq +r , avec 0 6 r < b Exemple : Ecrire les divisions euclidiennes de 112 par 5 puis de 86 par 7.´

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Définition. Soient a a et b b, deux nombres entiers naturels (c'est à dire positifs) avec b\neq 0 b ≠ 0. Effectuer la division euclidienne de a a par b b, c'est trouver deux entiers naturels q q et r r tels que : a = b\times q+r a = b × q + r et r < b r <b. q q s'appelle le quotient et r r le reste.

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Il suffit de faire la division euclidienne de 3456 par 60, car il y a 60 secondes dans une minute. La division euclidienne de 3456 par 60 donne : 3456 = 58 × 60 + 36 . Le quotient est égal à 58 .

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Définition : La division euclidienne d’un nombre entier, appelé dividende, par un nombre entier différent de zéro, appelé diviseur, revient à trouver deux nombres, appelés quotient et reste, vérifiant : dividende = diviseur × quotient entier + reste.

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Faire la division euclidienne de a par b consiste à déterminer q et r, avec | b |> r ≥ 0, tels que a = b q + r. Rappel : | b | est la valeur absolue de b. Si b est positif, alors | b | = b. Si b est négatif, alors | b | = − b. La division entière de 10 par − 3 est 17 = − 3 × − 3 + 1.