https://progresser-en-maths.com › exercice-corrige-formule-de-stirling

Voici l’énoncé d’un exercice qui permet de faire la démonstration de la formule de Stirling. C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des intégrales et celui des suites , en passant par les séries .

https://fr.wikipedia.org › wiki › Formule_de_Stirling

La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand n tend vers l'infini : lim n → + ∞ n ! 2 π n ( n / e ) n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{n\,! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({n}/{\rm {e}}\right)^{n}}=1}

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Démonstration via les intégrales de Wallis. En exploitant les propriétés des intégrales de Wallis, on peut établir une relation entre ces intégrales et les factorielles. Ce qui sert de pont pour atteindre la formule de Stirling.

https://perso.eleves.ens-rennes.fr › ~mbouc892 › stirling.pdf

Voici le plan de la d ́emonstration: Montrer l’ ́equivalent: 2x. Γ(x + 1) ∼ txe−tdt. x→+∞ 0. 2. Etudier l’int ́egrale. Z 2x txe−tdt. 0. lorsque x → +∞ et en d ́eduire la formule `a l’aide du th ́eor`eme de convergence domin ́ee. D ́emonstration. 1. Soit x > 0: Z +∞ Z 2x Z +∞ Γ(x + 1) = txe−tdt = txe−tdt + txe−tdt. 0. 2x.

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Mais il existe une formule célèbre, la formule de Stirling, qui en donne un ordre de grandeur en fonction de quantités ne faisant intervenir que des puissances : n! ∼+∞ √2πne−nnn. n! ∼ + ∞ 2 π n e − n n n. Méditons un instant sur cette formule.

http://cm2.ens.fr › histoire%20des%20maths › pdf › Formule%20de%20Stirling.pdf

La formule dite de Stirling, qui donne une évaluation de n! pour les grandes valeurs de n, est au centre des travaux menés au début du 18 ème siècle sur les problèmes probabilistes de passage à la limite et d'approximations.

https://math.univ-lyon1.fr › ~alachal › diaporamas › diaporama_stirling.pdf

Formule de Stirling. 1. `A l’aide de la concavit ́e de la fonction logarithme. Encadrement de la courbe de ln entre ses cordes et ses tangentes. Zoom entre k et (k +1) Corde entre k et (k +1) aire du trap`eze correspondant : 1 2[ln(k) + ln(k+1)] Tangente en k. ́equation de la tangente : y = 1 (x −k) + ln(k) k. hauteur en k + 1/2 : ln(k) + 1 2k.

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Formule de Stirling. Dans ce développement un peu technique, nous démontrons la formule de Stirling à l’aide du théorème central limite et de la fonction d’Euler. Lemme 1. Soit une variable aléatoire réelle à densité. Alors. pp. en −√ , est à densité et, , −√ ()= √.

https://agreg-maths.fr › uploads › versions › 767 › Striling version 2.pdf

Demonstration. Soit (Xn)n>1 une suite de variables aleatoires independantes et identiquement. n. distribuees de loi de Poisson de parametre 1. Posons: Sn := P Xk et Zn :=. k=1 Sn p E(Sn) . Notons que Sn suit une loi de Poisson de parametre n et que Zn = V(Sn) Sn p n . n.