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Voici l’énoncé d’un exercice qui permet de faire la démonstration de la formule de Stirling. C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des intégrales et celui des suites, en passant par les séries. C’est un exercice tout à fait faisable en première année dans le supérieur.

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Problème B. Irrationalité : méthode de Niven (1947) et Parks (1986). Dans tout le problème, on fixe un nombre c>0. I On définit P c= Q 2R[X] 8k2N;Q(k)(0) 2Z et Q(k)(c) 2Z . I Une suite de fonctions (’ n) n2N lisses sur le segment [0;c] est dite de Niven si 8n2N; 8 >< >: ’0 n+1= ’ n ’ n(0) 2Z ’ n(c) 2Z:

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MP2 Formule de Stirling - Corrigé 2024 - 2025 Partie I : 1. (a) Pourtoutentier ⩾ 2,partéléscopage, ∑ 𝑘=2 𝑘ln(𝑘) − (𝑘−1)ln(𝑘−1) = ln −1ln1 = ln (b) Pour ⩾ 2, ln( !) − ln = ∑ 𝑘=2 ln𝑘− ∑ 𝑘=2 𝑘ln(𝑘) − (𝑘−1)ln(𝑘−1) = ∑ 𝑘=2 (𝑘−1)ln(𝑘−1) − (𝑘−1)ln(𝑘) =

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Prérequis : L'intégrale de Wallis : https://www.youtube.com/watch?v=BwvXPTiKNcYLien vers l'énoncé : https://progresser-en-maths.com/exercice-corrige-formule-...

https://www.mp2-chato.fr › wp-content › uploads › 2020 › 09 › Stirling-C.pdf

MP 2 Formule de Stirling - Corrig´e 2020 - 2021 (b) La formule trouv´ee en 1.b) montre que In+2 In = n+1 n+2 −→ n→∞ 1 et donc In ∼ In+2. En utilisant maintenant la d´ecroissance de la suite (In), In+2 ⩽ In+1 ⩽ In En divisant par In > 0, In+2 In ⩽ In+1 In ⩽ 1 Par le th´eor`eme d’encadrement, In+1 In −→ n→∞ 1 et ...

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Exercice L’objectif est de résoudre l’équation différentielle ( E ) suivante d’inconnue y ∶]0 , +∞[→ R dérivable : ∀ x ∈]0 , +∞[ , xy ′′ ( x )+2 y ′ ( x )− xy ( x ) = 2ch( x ) ( E )

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En appliquant le théorème de Rolle à h sur les segments [at,] et [tb,], h′ s’annule en des points αβ, tels que a t b< << <α β . En appliquant le théorème de Rolle à h′ sur [αβ,] on obtient une annulation de h′′ en un point c ab∈ ⊂]αβ, ,[ [ ]. 3.c h c′′( ) 0= donne 2 ( )K f c= ′′ puis [ ], 2 sup ab

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La formule de Stirling fournit une approximation, plus précisément un équivalent de la factorielle d’un grand nombre par l’expression suivante : \[ \fbox{\( \displaystyle n! \underset{n \to +\infty}{\sim} \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \)}\]

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Voici le plan de la d´emonstration: 1.Montrer l’´equivalent: Γ(x+ 1) ∼ x→+∞ Z 2x 0 txe−tdt 2.Etudier l’int´egrale Z 2x 0 txe−tdt lorsque x →+∞et en d´eduire la formule a l’aide du th´eor`eme de convergence domin´ee. D´emonstration. 1.Soit x>0: Γ(x+ 1) = Z +∞ 0 t xe −tdt= Z 2x 0 te dt+ Z +∞ 2x txe−tdt Par un ...

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Méthode 1 - Obtention d’un équivalent de I2n n∈N (a) (Tracé réalisé avec Geogebra) On conjecture que I n n ∈N est positive, décroissante et de limite nulle.