https://math.univ-lyon1.fr › ~alachal › diaporamas › diaporama_stirling.pdf

Formule de Stirling. 1. `A l’aide de la concavit ́e de la fonction logarithme. Encadrement de la courbe de ln entre ses cordes et ses tangentes. Zoom entre k et (k +1) Corde entre k et (k +1) aire du trap`eze correspondant : 1 2[ln(k) + ln(k+1)] Tangente en k. ́equation de la tangente : y = 1 (x −k) + ln(k) k. hauteur en k + 1/2 : ln(k) + 1 2k.

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Formule de Stirling 1) Equivalent de ln(n!) quand n tend vers +∞. Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. On a ln(k−1) ≤ Zk k−1 lnx dx ≤ lnk. Puisque ln(k−1) ∼ lnk quand k tend vers +∞, on a Zk k−1 lnx dx ∼ k→+∞ lnk ≥ 0.

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La formule dite de Stirling, qui donne une évaluation de n! pour les grandes valeurs de n, est au centre des travaux menés au début du 18 ème siècle sur les problèmes probabilistes de passage à la limite et d'approximations.

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La formule de Stirling donne une approximation de n! lorsque n. 1, tres utilisee en statistique : p. n n! 2 nn+1. 2. e. (1) Il existe plusieurs demonstrations de cette formule 1. Nous en donnons ci-apres une autre, ne necessitant que peu de ressources mathematiques 2.

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La formule de Stirling L'objectif de ce problème est de démontrer la formule de Stirling suivante n! ˘ +1 p 2ˇn n e n: I.Un résultat intermédiaire On dé nit les suites (u n) n2N, (v n) n2N et (S n) n2N par 8n2N ; u n= p n n! n e n; v n= ln u n+1 u n et S n= Xn k=1 v k: I.1) Montrer que pour tout n2N , on a v n= n+ 1 2 ln 1+ 1 n 1:

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Voici le plan de la d´emonstration: 1.Montrer l’´equivalent: Γ(x+ 1) ∼ x→+∞ Z 2x 0 txe−tdt 2.Etudier l’int´egrale Z 2x 0 txe−tdt lorsque x →+∞et en d´eduire la formule a l’aide du th´eor`eme de convergence domin´ee. D´emonstration. 1.Soit x>0: Γ(x+ 1) = Z +∞ 0 t xe −tdt= Z 2x 0 te dt+ Z +∞ 2x txe−tdt Par un ...

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La formule de Stirling et l'integrale de Gauss. La factorielle d'un entier n 2 N est de nie par la formule : n! = Y k = 1 2 3:::(n 1) n. k=1. otique de la factorielle au voisinage de l'in ni. On montrera a cet e et la formule de Stirling, qui donne un equ. e. uotient un tend vers 1 pour n vn tendant vers +1. Ainsi, la formule de Stirling ci. de

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Proposition 1. On a n! n!+1. n(n e )n. Demonstration. Soit (Xn)n>1 une suite de variables aleatoires independantes et identiquement. n. distribuees de loi de Poisson de parametre 1. Posons: Sn := P Xk et Zn := k=1 Sn p E(Sn) . Notons que Sn suit une loi de Poisson de parametre n et que Zn = V(Sn) Sn p n . n.

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LA FORMULE DE STIRLING. OLIVIER CASTÉRA. Résumé. Démonstration de la formule d’approximation de James Stirling, ln(n!) ≈ n ln n − n. Table des matières. 1 Résultats préliminaires. 1.1 Fonction Π de Gauss. 1.2 Intégrale de Gauss. 2 Démonstration de la formule de Stirling. Résultats préliminaires. . 1.1 Fonction Π de Gauss. +∞ Théorème 1.1.

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Définition. Soient a, ̧ des réels strictement positifs, on appelle loi gamma de paramètres a et , notée. ̧. ¡(a, ), la loi de densité par rapport à la mesure de Lebesgue. ̧ fa, ̧. a. fa,(x) Æ ̧ xa¡1e¡ x ̧ 1xÈ0 ̧ (a) ¡ Notons que la loi (1, ) est la loi E( ). ¡ ̧ ̧.