https://perso.eleves.ens-rennes.fr › people › perrine.jouteur › agreg › Stirling.pdf

Formule de Stirling via le TCL. Perrine Jouteur. Ce d ́eveloppement est assez technique, mais je trouve qu’il vaut le coup puisqu’il couvre la plupart des le ̧cons de probabilit ́e : 261, 262 et 266.

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Formule de Stirling, par le TCL. Florian DUSSAP. Agrégation 2018. Définition. Soient a, ̧ des réels strictement positifs, on appelle loi gamma de paramètres a et , notée. ̧. ¡(a, ), la loi de densité par rapport à la mesure de Lebesgue. ̧ fa, ̧. a. fa,(x) Æ ̧ xa¡1e¡ x ̧ 1xÈ0 ̧ (a) ¡ Notons que la loi (1, ) est la loi E( ). ¡ ̧ ̧.

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On applique le TCL à Z n= √ n S n n −1 pour montrer la formule de Stirling Recasages : - [[223 Suites numériques]] - [[224 Développements asymptotiques]] - [[235 Interversions de symboles]] - [[236 Calcul d’intégrales]] - [[261 Loi d’une variable aléatoire]] - [[262 Convergences de variables aléatoires]] - [[264 Variables ...

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Formule de Stirling par le TCL : I Le développement. Le but de ce développement est de démontrer la formule de Stirling en utilisant les probabilités et notamment le TCL. Lemme 1 : [Francinou, p.165] Soit n ∈ N∗. verge. k−1 (n+k)! k=1. = n!. 1. Preuve : Soit N ∈ N∗. On a : −1 N n)nk−1 N. (n + k)! (n + k)! k=1 k=1 k=1. nk−1 nk. −.

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On démontre la formule de Stirling en appliquant le Théorème Central Limite à des variables de loi de Poisson.

https://math.univ-cotedazur.fr › ~bertheli › Page_Web › Agreg › FeuillesTD0708 › tcl.pdf

a. Calculer en utilisant le TCL la limite quand n tend vers l’infini de. μ μ ¶ ¶. √ Sn. n . pour α et β deux r ́eels. b. En utilisant le fait que Sn suit une loi γ(n, 1), calculer directement la mˆeme quantit ́e que ci-dessus. c. Montrer la formule de Stirling en utilisant a. et b..

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La d´emonstration historique de ce th´eor`eme repose sur un bon controle des coefficients binomiaux via la formule de Stirling. On pourra la consulter en annexe (cf. B.4). L’int´erˆet de cette approche «´el´ementaire » est de donner une id´ee de la vitesse de convergence.

https://fr.wikipedia.org › wiki › Formule_de_Stirling

La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand n tend vers l'infini : lim n → + ∞ n ! 2 π n ( n / e ) n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{n\,! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({n}/{\rm {e}}\right)^{n}}=1}

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Voici le plan de la d´emonstration: 1.Montrer l’´equivalent: Γ(x+ 1) ∼ x→+∞ Z 2x 0 txe−tdt 2.Etudier l’int´egrale Z 2x 0 txe−tdt lorsque x →+∞et en d´eduire la formule a l’aide du th´eor`eme de convergence domin´ee. D´emonstration. 1.Soit x>0: Γ(x+ 1) = Z +∞ 0 t xe −tdt= Z 2x 0 te dt+ Z +∞ 2x txe−tdt Par un ...

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Le théorème central limite (aussi improprement appelé théorème de la limite centrale ou centrée) établit la convergence en loi de la somme d’une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intui-tivement, ce résultat affirme que toute somme de variables aléatoires indépendantes tend dans certains cas vers une variable aléatoire gaussienne.