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Intégrales Généralisées Exercice 1. Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : 𝐼1=∫ 3 − +∞ 0; 𝐼2=∫ 1 √ 2+1 +∞ 1; 𝐼3=∫ ln( ) ( 2+1)2 +∞ 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? 𝐼1=∫ ln( ) +∞ 2

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Mathématiques 3 (L2) – Quelques exercices supplémentaires INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES § 1. — Calcul d’intégrales généralisées par primitivation . . . . . . .1 § 2. — Nature d’intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . .3 § 3. — Exercices complémentaires (plus di ciles) . . . . . . . . . . .6 § 1. —Calcul ...

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Exercices sur les int´egrales g´en´eralis´ees. ci. 1. Calculer les in ́egrales g ́en ́eralis ́ees suivantes : ∞ a) Z dx. (1 + ex)(1 + e−x) 0. ∞ e−√x. b) Z. √x dx. 0. d) Z. ∞ ln x. dx x2. e) Z ln x. dx. + x)2. 0. g) Z. ∞ arctan x. . ∞ h) Z dx. (a > 0, x(x + r) 0 a. 2. Montrer que les int ́egrales suivantes convergent : 1. c) Z ln x dx. 0.

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Définition 1.1.1: Intégrale impropre, convergente, divergente. Soit f ∈C0 m ([a,b[,K). L’intégrale Z b a f(t) dt est dite impropre en b. On dit qu’elle converge lorsque Z x a f(t) dt admet une limite quand x tend vers b−. Dans ce cas, on pose : Z b a f(t) dt = lim x→b− Z x a f(t) dt. On dit que l’intégrale diverge si elle ne ...

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Intégrales généralisées Exercice 1. Étude de convergence Étudier la convergence des intégrales suivantes : 1) Z +∞ t=−∞ dt et +t2e−t 2) Z +∞ t=1 esin t t dt 3) Z 1 t=0 tα −1 lnt dt 4) Z +∞ t=e2 dt t(lnt)(lnlnt) 5) Z +∞ t=0 ln 1+t2 1+t3 dt 6) Z +∞ t=0 2+(t+3)ln t+2 t+4 dt 7) Z +∞ t=0 tlnt (1+ t2)α dt 8) Z 1 t=0 dt 1 ...

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Exercice 1. ́Etudier l’int ́egrabilit ́e des fonctions suivantes sur les domaines consid ́er ́es et d ́eterminer la valeur de. leur int ́egrale dans les cas int ́egrables : x 7−→e−x sur [0; +∞[ et x 7−→e−|x| sur R, x 7−→ xα sur [1; +∞[ et sur ]0; 1], discuter du r ́esultat en fonction de α ∈ R, x 7−→ln(x) sur ]0; 1] et ln(x) 7−→ x2. sur [1; +∞[.

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1. Résumé de cours . 1.1. Intégration sur un segment. On nomme segment un intervalle fermé borné de la droite réelle R. Soient I = [a, b] un segment de R, f une fonction I fi R. Si f est à valeurs positives, on appelle intégrale de f sur le segment I l’aire du domaine D = { (x, y) ̨ I·R ; 0 £ y £ f(x) }. On note alors ∫b f ( x ). dx = Aire(D). a.

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Exercice 3. À l’aide d’intégrations par parties, calculer les intégrales suivantes. I 1 = ⁄ e 1 lnxdx On dérive u(x)=lnx, on primitive vÕ(x)=1. Alors uÕ(x)=1 x et v(x)=x (une primitive quelconque sut) et ⁄ lnxdx =(lnx)(x)≠ ⁄ (1 x)(x)dx = xlnx≠x+C = x(lnx≠1)+C (C œ R). Intervalles de définition : ]0,+Œ[.

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Exercice 2 Etudier la convergence des intégrales généralisées suivantes : 1 x. 1+x0 R p. dxx2 ; 1+x+1 ln(x+1) dx ;0 x+1 ln. géné-+1 ralisée R +1dx. +1 d . une fonction de Riemann de paramètre = 5 R +1 p dx2 > 1. O. deux intégrales gén .

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Chapitre 1 : Intégrales généralisées. Analyse 3 { STPI { 2eme annee. Chapitre 1 : Integrales generalisees. Olivier Ley IRMAR, INSA de Rennes. 1.1. Rappel sur l'integrale classique (de Riemann 5) Si f est. continue sur [a; b] 1, b. (x)dx. = F(b) F(a) ou F est une primitive 3 de f sur [a; b] Thm fondamental de l'analyse 2 n 1 X. a. = lim.