https://fr.wikiversity.org › wiki › Axiomes_des_théories_des_ensembles › Introduction

Ce chapitre expose les axiomes des théories des ensembles. Plusieurs approches complémentaires sont présentées. L’axiome d’extensionalité est commun à toutes les théories des ensembles. En effet, si un être n’obéissait pas à cette loi, il ne pourrait pas être un ensemble. Elle peut être énoncée comme suit. Axiome d'extensionalité.

http://cm2.ens.fr › maths › pdf › logique › zf.pdf

Axiome de l’ensemble des parties : `A tout ensemble, on peut associer un en-semble de l’univers qui contient exactement les parties (i.e. les sous-ensembles) du premier. ∀a∃b (∀x, x ∈ b ⇐⇒ x ⊂ a) Remarque : x ⊂ a est une abr ́eviation pour ∀y, y ∈ x =⇒ y ∈ a Notation : Cet ensemble b est not ́e P(a). 2 Les sch ́emas d’axiomes.

https://fr.wikipedia.org › wiki › Théorie_des_ensembles

Cette approche formelle conduisit à plusieurs systèmes axiomatiques, le plus connu étant les axiomes de ZF, mais également la théorie des classes de von Neumann ou la théorie des types de Russell. Les origines de la théorie des ensembles. Genèse. Georg Cantor.

https://perso.ens-lyon.fr › pierre.lescanne › ENSEIGNEMENT › LOGIQUE › 04-05 › slides-ensembles.pdf

L’axiome de la paire 1 / 2 Axiome (de la paire) Étant donnés deux ensembles a et b, il existe un ensemble c qui contient a et b et eux seulement. Cet ensemble c est unique d’après l’axiome d’extensionnalité. L’axiome de la paire est conséquence d’axiomes ultérieurs, mais il est commode de l’énoncer. 8x8y9z8t[t 2z,(t =x _t =y)]:

https://lectures.lionel.fourquaux.org › 2017-2018 › ag1 › zfc.pdf

Les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (ZFC) sont : l’axiome d’extensionalité : ∀ ∀ ( ⊆ ∧ ⊆ ) =. (c’est l’axiome permettant de démontrer l’égalité de deux ensembles par double inclusion) l’axiome de fondation : ∀ ≠ ∅ (∃ ∈ ∧ ∩ = ∅ )

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr › ~elisabeth.bouscaren › NOTESCOURS › 03Notes6.pdf

AX(4) L’axiome de l’ensemble des parties. Si a, b sont des ensembles, on écrit a ⊂ b pour la formule ∀x (x ∈ a → x ∈ b), lu “a est un sous-ensemble de b”. ∀x ∃y ∀z (z ∈ y ↔ z ⊂ x) C’est-à-dire, si a est un ensemble, il existe un ensemble, noté P(a) dont les éléments sont exactement les sous-ensembles de a.

https://www.mathematik.uni-marburg.de › ~portenier › Analyse › Cours › th-ensembles.pdf

DEFINITION 1. Nous écrirons x =2 y , et nous dirons que x n appartient pas à y , si l on a : (x 2 y) . ou que x est une par. y , si. 8z (z 2 x ) z 2 y) . Axiome d extensionalité. 8x8y [(x y ^ y x) ) x = y] uement, alors x et y sont égaux. La r�. d utiliser l axiome E2 (x y ^ y x; x; y) .

https://www.bibmath.net › dico › index.php

axiome de l'ensemble infini : Il existe au moins un ensemble qui contient l'ensemble vide et tel que, si y y est élément de cet ensemble, alors y∪{y} y ∪ {y} est aussi élément de l'ensemble.

https://www.pps.jussieu.fr › ~roziere › methAx › LTA-ens.pdf

éléments de l’ensemble {a,b}. Pour tout ensemble x, on a donc x 2a [b,(x 2a ou x 2b) . A l’aide de l’axiome d’extensionnalité, on voit aisément que a [b ˘b [a; a [(b [c) ˘(a [b)[c. Ce dernier ensemble est noté a [b [c et est appelé réunion des ensemble a, b, c. On définit de même la réunion de quatre ensemble a, b, c, d, etc.

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L’ensemble de toutes les vérités atomiques d’appartenance à tous les ensembles énumérables est énumérable. Au lieu d’une preuve générale et abstraite, nous allons étudier la construction d’un ensemble énumérable particulier, un ensemble VAF0 de vérités atomiques de l’arithmétique formelle.