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Exponentielle de base a (a x) : Dans ce cas, comme pour la comparaison de fonctions (cf ci-après), le mieux est de repasser à la définition a x =exp (xln (a)), et d'appliquer les théorèmes déjà connus. Limites données par le taux d'accroissement. Comparaison de fonctions.

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Retrouvez toutes les formules des limites : exp, cos, sin, ln, tan, ... avec notamment celles utilisant le taux d'accroissement

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Fiche technique sur les limites. 1 Fonctions élémentaires. Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations. 1.1 Limite en +1. et 1. 1.2 Limite en 0. 2 Asymptotes parallèles aux axes. 3 Opération sur les limites et formes indéterminées. 3.1 Somme de fonctions. 3.2 Produit de fonctions. *Appliquer la règle des signes.

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1) Déterminer la limite suivante : lim ⁡ x 0 ln ⁡ (1 + x) x \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} x 0 lim x ln (1 + x) 2) En déduire que : ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ 0 x \ln(1+x) \underset{0}{\sim} x ln ( 1 + x ) 0 ∼ x

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On la note lna. La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln: 0;] +∞ →[ℝ x!lnx Remarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

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Définition 1 : La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction déri-vable sur R égale à sa dérivée et vérifiant : exp(0)=1. Remarque : En admettant l’existence d’une telle fonction, on montre l’unicité en montrant que la fonction exp ne s’annule pas sur R. (cf cours première spé) Théorème 1 : Propriétés

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Propriété de la fonction exponentielle. 1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp( + )=exp exp. Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. Corollaires : Pour tous réels x et y, on a : . exp(− )= % exp( − )= exp( )=(exp ) ou encore exp exp(− )=1. % avec ∈N.

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Limites dans la fonction logarithme népérien. Techniques de détermination de limites. Rappelons d’abord les deux formules de base : Une valeur utile : ln 1 = 0 . lim ln x = +¥ et limln x = -¥. x +¥® x 0. ln x. Et les formules de croissance comparée : lim = 0 et lim xn ln x = 0. x +¥®. xn. x 0.

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Les techniques pour déterminer les limites. Tout d’abord les limites classiques à connaître : lim ex = 0 et lim ex = +¥. x -¥® x +¥®. Une valeur qu’on croise souvent et qui est incontournable : e0 = 1 ex Et puis les fameuses « croissances comparées » : lim = +¥ et lim xn ex = 0. x +¥®. xn. x -¥®.