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Limites de croissance comparée. Les fonctions puissances croissent plus vite que la fonction ln aussi bien au voisinage de 0 qu’en + ∞. La fonction ln est une « fonction à croissance lente ».

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Pour tout entier naturel n, on a. 1) limx→+∞ ex xn = +∞ lim x →+∞ e x x n = +∞. 2) limx→-∞xnex = 0 lim x →-∞ x n e x = 0. Croissance comparée de la fonction logarithme et des fonctions puissances. De même, lorsque x tend vers +∞, ln (x) tend vers +∞, donc limx→+∞ ln (x) x lim x →+∞ ln (x) x est une forme indéterminée.

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Limites de croissance comparée. Ce sont les limites qui permettent de « comparer » la fonction exponentielle aux fonctions puissances, en particulier, à la fonction x ↦ y = x ; et lever certaines indéterminations [ce qui est toujours le cas dans les exercices]. Théorème 2.

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En divisant par x > 0, on obtient 0 ≤ ln ⁡ (x) x ≤ 2 x − 2 x. D'après le théorème d'encadrement, on en déduit ln ⁡ (x) x → x → + ∞ 0. On sait que x = e t → t → + ∞ + ∞. Par changement de variable dans la limite précédente, on obtient donc ln ⁡ (e t) e t → t → + ∞ 0 + et par passage à l'inverse e t t → t ...

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Étape 1 : On factorise par \(x^3\). Étape 2 : On utilise le théorème des croissances comparées pour lever l’indétermination. Théorème des croissances comparées - Ln - Exercice 2 Calculer \(\lim\limits_{\begin{array}{l}x \to 0\\x > 0\end{array}} 1 + x – x^4lnx\).