http://www.lmpt.univ-tours.fr › ~gallardo › EspHilbert6bis.pdf

1 Opérateurs de Hilbert-Schmidt. 1.1 Généralités. Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension +∞ et T ∈ L(H, H) un opérateur de H. Définition 1.1 : On dit que T est de Hilbert-Schmidt, s’il existe une base hilbertienne (en)n∈N∗ de H telle que. +∞. ||T en||2 < +∞. n=1.

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Définition 1. On dit que T est un opérateur de Hilbert-Schmidt s’il existe une base hilbertienne penqnPN de H telle que la 8° 2 série }Ten} converge. n 0. On note HSpHq l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt de H.

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Dé nition 1.2 On appelle opérateur sur Hune application linéaire onticnue de Hdans H. On note L(H) l'ensemble des opérateurs sur H. Si A2L(H), on dé nit sa norme oérpateur arp kAk= supfkAhk: h2H;khk61g: Proposition 1.3 oiciV quelques propriétés de la norme opérateur. 1. Si A2L(H), alors kAk= 0 si et seulement si A= 0. 2. Si A;B2L(H ...

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et donc les opérateurs de rang fini sont denses dans(HS(H), ·,· HS)! Ainsi, en particulier, grâce à la continuité de l’injection dans L c(H), on a que T est limite dans L c(H) d’opérateurs de rang fini, donc compacts. Étant donné que l’ensemble K (H) des opérateurs compacts est un fermé de L c(H), on a que

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On admettra que tout espace de Hilbert separable admet une base Hilbertienne.´ Proposition 1.11 (Proced´ e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt)´ Soit Hun espace de Hilbert de dimension finie ou denombrable et´ (u n) 0 n N une famille totale et libre de H(avec eventuellement´ N= +1). Alors il existe une base hilbertienne (e n) 0 n N de ...

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Opérateurs compacts et théorie spectrale sur les espaces de Hilbert. 5.1 Opérateurs compacts. Opérateurs compacts constituent une classe importante d’opérateurs linéaires bornés. D’une part, ils sont presque des opérateurs de rang fini (i.e. d’image de dimension finie).

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Exprimer Hà partir de ces opérateurs. Calculer les commutateurs entres ces opérateurs. Que suggère ce résultat? 3.Remarquer que inversement D x= p B 2 q^+ Q^ et y= p1 B Q^ q^ . On considère donc l'opérateur (Transformée de ourierF en x) F x: (S R2!S R2 u(x;y) !v(˘ x;y) = p1 2ˇ R e i˘xxu(x;y)dx et l'opérateur U 2: (S R2!S R2 v(˘ x;y ...

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Opérateurs compacts constituent une classe importante d’applications linéaires conti-nues. D’une part, ils sont presque des opérateurs de rang fini (i.e. approchés par des opéra-teurs dont l’image est de dimension finie). D’autre part, la classe des opérateurs compacts est suffisamment large pour inclure les

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Op´erateurs born´es sur les espaces de Hilbert On a d´ej`a revu l’essentiel des propri´et´es des espaces de Hilbert dans le chapitre 3, en particulier l’existence de base orthonorm´ee pour tout espace de Hilbert s´eparable.

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Opérateurs de Hilbert-Schmidt.pdf Références utilisées dans les versions de ce développement : Analyse fonctionnelle , Gilles Lacombes, Pascal Massat (utilisée dans 5 versions au total)