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En résumé, le principe de récurrence nous permet de démontrer une suite de propositions P_n P n telle que : Toute proposition implique sa successeur dans la suite.

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Raisonnement par récurrence. L'étape initialisation : Montrer que le résultat est vrai pour le tout premier rang (en général le premier rang est 0, mais il se peut que le premier rang soit 1, 2 ou autre, cela dépend du résultat à démontrer).

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Le raisonnement par récurrence est essentiel en mathématiques lorsqu’on travaille avec des nombres entiers. Dans cet article, définissons cette manière de raisonner et corrigeons quelques exercices pour bien comprendre.

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Définition du principe de récurrence. Soit une propriété P n. Si (P n est vraie) (P n+1 est vraie) et s'il existe un entier q tel que P q est vraie, alors pour tout entier , P n est vraie. Les deux hypothèses sont fondamentales : l' hérédité bien sûr mais aussi le fait que la récurrence soit fondée.

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Le principe de récurrence permet justement de " rassembler " sous la forme d'une seule démonstration (finie), cette infinité de démonstrations, une pour chaque entier.

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Le raisonnement par récurrence établit une propriété importante des entiers naturels : celle d'être construits à partir d'un entier n 0 en itérant le passage au successeur. Dans une présentation axiomatique des entiers naturels, il est directement formalisé par un axiome.

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Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence. I. Exemple introductif. On considère les suites de terme général : n (n + 1) un = 0 + 1 + + (n – 1) + n = 2 vn = 03 + 13 + + (n – 1)3 + n3. Ces deux suites sont définies par une formule explicite. On souhaiterait obtenir une formule permettant de calculer explicitement vn en fonction de un.

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Dans ce module est introduit un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le principe de raisonnement par récurrence. Ce grand principe expliqué et illustré dans le cas général est ensuite appliqué aux suites.

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Il a été formalisé comme principe fondamental de raisonnement par Pascal, et surtout par Peano et ses collaborateurs. Dans cette leçon, on s’intéresse à ce nouveau raisonnement puis, dans une deuxième partie, aux suites définies par une relation de récurrence.