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Solutions complexes d'une équation de degré 2 - cours. I. Une équation de degré 2, d'inconnue z. s'écrit a z ²+ b z + c = 0 sous forme développée, où a, b et c sont des nombres connus avec a ≠ 0.

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Résoudre les équations du second degré suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^2-2iz-1+2i=0&&\mathbf{2.}\ iz^2+(4i-3)z+i-5=0\\ \mathbf{3.}\ z^2-(7+i)z+12+3i=0. \end{array}$$

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Toute équation du 2ième degré à coefficients réels admet deux solutions distinctes ou confondues dans C. az2+ bz+ c=0 avec a ∈R* . b∈R . c∈R. Si Δ > 0 alors l'équation admet deux solutions réelles distinctes : z 1=−b−√Δ et √Δ. 2 a z 2=−b+. 2 a S={z. ; z. 2}

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On souhaite résoudre l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$. 1) Vérifier que -1 est solution de cette équation. 2) Déterminer $a$, $b$, $c$ tels que pour tout $z$, $z^3+3z^2+11z+9=(z+1)(az^2+bz+c)$.

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Factoriser zn −an z n − a n. Exercice 1: Racines carrées d'un nombre complexe. Déterminer les racines carrées de −5 + 12i − 5 + 12 i. Exercice 2: résoudre une équation du second degré à coefficients complexes. Résoudre dans C C, l'équation (3 + i)z2 − (8 + 6i)z + 25 + 5i = 0 (3 + i) z 2 − (8 + 6 i) z + 25 + 5 i = 0.

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Théorème 1 (résolution de l’équation dans R) : Afin de résoudre l’équation du second degré à coefficients réels (E)a, trois cas sont à distinguer : (i) Si ∆ > 0, alors l’équation (E) admet deux solutions x1 et x2 distinctes, données par les formules : √∆ −b − et −b + √∆. x1 = x2 = . 2a 2a.

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En classe de première, vous avez appris à résoudre des équations et inéquations du second degré. Du moins lorsque le discriminant Δ Δ était positif car dans le cas contraire, l’affaire était pliée. Mais à présent, vous évoluez dans une sorte de monde parallèle, celui des nombres complexes.

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Propriété: Équation du second degré. L'équation az2 + bz + c = 0, où a ≠0, b et c sont trois réels, et de discriminant Δ = b2 − 4 ac admet: si Δ = 0, une solution réelle double. z0 = − b / 2 a. si Δ > 0, deux solutions réelles distinctes. z1 = − b − Δ / 2 a et z2 = − b + Δ / 2 a. si Δ < 0, deux solutions ...

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Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des équations du second degré dont les racines sont complexes. L’introduction des nombres complexes ouvre la possibilité de trouver des solutions aux équations que l’on était auparavant dans l’impossibilité de résoudre.

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Résolutions d'équation du second degré dans l'ensemble des complexes. Soit az² + bz + c = 0 une équation du second degré à coefficient réel, avec a,b,c ∈ et a ≠ 0. Soit Δ = b² - 4ac le discriminant de cette équation. Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions distinctes réelles : Si Δ = 0, alors l'équation admet une unique solution réelle :