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Notamment à résoudre des équations ou inéquations avec des exponentielles. Par exemple, si on veut résoudre : 5 e x on applique la fonction ln, et on ne change pas le sens de l’inégalité car la fonction ln est croissante !!!!! ln(5) ln(e x) ln(5) x . de même, si on a . ln(x) 9

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La fonction logarithme népérien, notée \ln ln, est la fonction définie sur \left]0;+\infty \right []0; +∞[ qui à x > 0 x> 0, associe le réel y y solution de l'équation e^ {y}=x ey = x.

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Définition : • Soit a un réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de a, l'unique solution de l'équation ex=a. On le note ln (a). • La fonction qui à tout réel x > 0, associe le réel ln (x) est appelée fonction logarithme népérien.

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Pour résoudre une équation du type $\ln\big(u(x)\big) = \ln\big(v(x)\big)$, il faut respecter les étapes suivantes : rechercher l’ensemble $E$ des réels tels que $u(x) > 0$ et $v(x) > 0$ ; résoudre l’équation $u(x) = v(x)$ ;

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Propriétés. Le logarithme est une fonction strictement croissante sur son ensemble de définition. ln (1) = 0. Le logarithme est une fonction dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée est la fonction inverse : \forall x \in \R_+^*, \ln' (x) = \frac {1} {x} ∀x ∈ R+∗,ln′(x) = x1.