https://fr.wikipedia.org › wiki › Série_harmonique

En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls : Elle tire son nom par analogie avec la moyenne harmonique, de la même façon que les séries arithmétiques et géométriques peuvent être mises en parallèle avec les moyennes arithmétiques et géométriques.

https://aufutur.fr › revisions › mathematiques › montrer-convergence-serie-harmonique

Objectif de l’exercice. Le but de la partie 1 est de montrer la divergence de la série harmonique, c’est-à-dire de montrer que la série diverge vers . Le but de la partie 2 est de montrer que la suite définie pour tout , , converge vers un réel .

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Voici l’énoncé d’un exercice sur la suite harmonique, appelée aussi série harmonique (tout dépend de si on est dans le chapitre des suites ou des séries), une série divergente dont la démonstration n’est pas directe.

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Définition. Le réel γ est appelé la constante d’Euler. 1 Terme en log n. La fonction qui à t > 0 associe 1 étant décroissante, on a : t. 1 1 1. ∀k ≥ 1, ∀t ∈ [k, k + 1], ≤ ≤. + 1 t k donc en intégrant on obtient : Z k+1 dt 1. ∀k ≥ 1, ≤ = log(k + 1) − log k ≤. k + 1 k t k. En sommant cette inégalité pour k allant de 1 à n − 1 on obtient : (1)

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La série harmonique Pour n naturel non nul , on pose Hn = Xn k=1 1 k. 1) Hn tend vers +∞ quand n tend vers +∞. Pour n > 1, Hn+1 −Hn = 1 n +1 > 0. Donc la suite (Hn)n∈N∗ est strictement croissante et admet ainsi une limite dans ]−∞,+∞]. Ensuite, pour n > 1, H2n −Hn = X2n k=n+1 1 k > X2n k=n+1 1 2n = n × 1 2n = 1 2.

https://agreg-maths.fr › uploads › versions › 4867 › 26) Série Harmonique.pdf

Étude de la série Harmonique. Théorème 1 : En notant (Hn)n∈N la suite des sommes partielles de la série harmonique on a le développement asymptotique suivant : 1 1. Hn = ln(n) + γ + + o 2n n γ. où est un réel strictement positif. Théorème 2 : kn; = min{k ∈ N : Hk ≥ n} On pose .

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La série harmonique (de terme général \(\dfrac{1}{n}\)) est divergente. En effet, pour montrer ca, on va montrer que la suite des somme partielle est plus grandes qu’une suite qui est divergente.

https://culturemath.ens.fr › thematiques › lycee › oresme-et-la-serie-harmonique

Si l'on essaie de faire le calcul à la main ou même à l'aide d'un ordinateur, on peut avoir l'impression que cette somme ne dépassera jamais $10$, par exemple. Et pourtant... Voici la démonstration de Nicole Oresme que cette somme (plus précisément cette série ) tend vers l'infini en image ou plutôt ...