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Définition. Le réel γ est appelé la constante d’Euler. 1 Terme en log n. La fonction qui à t > 0 associe 1 étant décroissante, on a : t. 1 1 1. ∀k ≥ 1, ∀t ∈ [k, k + 1], ≤ ≤. + 1 t k donc en intégrant on obtient : Z k+1 dt 1. ∀k ≥ 1, ≤ = log(k + 1) − log k ≤. k + 1 k t k. En sommant cette inégalité pour k allant de 1 à n − 1 on obtient : (1)

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La série harmonique Pour n naturel non nul , on pose Hn = Xn k=1 1 k. 1) Hn tend vers +∞ quand n tend vers +∞. Pour n > 1, Hn+1 −Hn = 1 n +1 > 0. Donc la suite (Hn)n∈N∗ est strictement croissante et admet ainsi une limite dans ]−∞,+∞]. Ensuite, pour n > 1, H2n −Hn = X2n k=n+1 1 k > X2n k=n+1 1 2n = n × 1 2n = 1 2.

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Développement asymptotique de la série harmonique Leçons : 223, 224, 230 [X-ENS An1], exercice 3.18 On pose, pour tout n > 1, Hn = n å k=1 1 k; cherchons le développement asymptotique de Hn quand n tend vers l’infini. 1.Posons, pour n 2N, un = Hn lnn et vn = un 1 n; on va montrer que (un) et (vn) sont adjacentes. En effet : –Déjà ...

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Introduction à l’analyse harmonique Jacek Jendrej, CNRS et université Paris 13 Cours introductif de niveau M2, septembre–octobre 2019

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C'est là l'idée d'une série (convergente) en mathématiques : une somme d'un nombre in ni de termes qui donne pourtant un résultat ni. 1 Dé nitions Dé nition 1. Soit (u n) une suite réelle. La série de terme général u n est la suite S n des sommes partielles de la suite (u n). Autrement dit, S n = Xn k=0 u k. On note cette série X u ...

http://emilie.baud.free.fr › EVAspip › IMG › pdf › 015Series_de_Fourier.pdf

Les coefficients an et bn sont les coefficients de Fourier de la fonction f. Le terme de pulsation ω est le fondamental. Les termes de pulsation nω (n 2) sont les harmoniques de rang n. La série de Fourier converge vers f (t) partout où f est continue et vers.

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Étude de la série Harmonique. Théorème 1 : En notant (Hn)n∈N la suite des sommes partielles de la série harmonique on a le développement asymptotique suivant : 1 1. Hn = ln(n) + γ + + o 2n n γ. où est un réel strictement positif. Théorème 2 : kn; = min{k ∈ N : Hk ≥ n} On pose .

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Développement asymptotique de la série harmonique Achille Méthivier Théorème 1. Soit (H n) n∈N∗ la suite des sommes partielles de la série harmonique, définie pourn∈N∗, H n= Xn k=1 1 k. Alors, pour r∈N∗, la suite (H n) n∈N∗ admet le développement asymptotique à l’ordre rsuivant H n= ln(n)+γ+ rX−1 k=2 (−1)k−1b k ...

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Si sin(!t) et cos(!t) correspondent à la fréquence fondamentale, sin(n!t) et cos(n!t) correspondent aux harmoniques. La combinaison du fondamental et des harmoniques est alors une fonction potentiellement compliquée mais périodique de période celle du fondamental.

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Pour estimer kn on va utiliser le début du développement asymptotique de Hn. On sait que Hn = ln(n) + γ + εn où εn −→ 0. Par définition de kn on a : n→+∞. ln(kn) + γ + εkn ≥ n et. ln(kn − 1) + γ + εkn−1 < n. En passant à l’exponentielle. ene−γ−εkn−1 + 1 > kn ≥ ene−γ−εkn. On a donc kn ∼ ene−γ et.