https://fr.wikipedia.org › wiki › Division_euclidienne

Le théorème de la division euclidienne dans les entiers naturels (les nombres entiers pris à partir de 0) s'énonce ainsi. À deux entiers a ≥ 0 et b > 0, on associe de façon unique deux entiers naturels, le quotient q et le reste r, qui vérifient : a = b × q + r ; r < b. Autrement dit : il existe un unique entier naturel q ...

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Comment poser une division euclidienne de polynômes? Exemple : $A=X^5-3X^3-X^2+X+4,$ et $B=X^3-2X^2+1.$ $$X^5-3X^3-X^2+X+4=(X^3-2X^2+1)(\underbrace{X^2+2X+1}_{\textrm{quotient}})+(\underbrace{-X+3}_{\textrm{reste}}).$$

https://www.maths-cours.fr › cours › division-euclidienne-pgcd

Ce cours explique la division euclidienne, les critères de divisibilité, les nombres premiers et le PGCD. Il contient des définitions, des exemples, des exercices et des remarques.

https://www.capes-de-maths.com › lecons › lecon10.pdf

Définition 1 : Déterminerq et r, c’est effectuer la division euclidienne de a par b. Dans cette division, a, b, q et r sont respectivement appelésdividende, diviseur, quotient et reste. Remarques 1 : Si r = 0, alors b divise a. bq n’est pas nécessairement le multiple deb le plus proche de a. Exemple : 14 = 2 × 5 + 4 (a = 14, b = 5).

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Théorème. Quels que soient a et b *, il existe un couple unique d'entiers naturels (q ; r ) tel que : a = bq + r et r < b. L'expression a = bq + r avec r < b s'appelle la formule de la division euclidienne, q est le quotient euclidien de a par b et r le reste dans la division euclidienne de a par b.

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D'après le résultat du cours sur la division euclidienne, on sait que tout entier n s'écrit sous une des trois formes suivantes : n=3 k \: ; n=3 k+1 ou n=3 k+2 . On raisonne par disjonction de cas en distinguant les trois cas possibles et en démontrant le résultat dans chacun des cas.

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Cette op´eration s’appelle la division euclidienne de a par b : Th´eor`eme Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe alors un unique couple d’entiers relatifs (q;r) tels que a = bq +r , avec 0 6 r < b Exemple : Ecrire les divisions euclidiennes de 112 par 5 puis de 86 par 7.´