https://fr.wikipedia.org › wiki › Théorème_des_suites_adjacentes

En mathématiques, le théorème des suites adjacentes concerne les suites réelles et précise que deux suites adjacentes convergent, vers une même limite.

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Apprenez la définition, la propriété et le théorème des suites adjacentes, avec des exemples et des exercices corrigés. Découvrez aussi comment utiliser les suites adjacentes pour démontrer l'irrationnalité de e.

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Suites adjacentes. Deux suites réelles (un) (u n) et (vn) (v n) sont dites adjacentes si elles vérifient les propriétés suivantes : l'une des deux est une suite croissante. l'autre est une suite décroissante. (vn −un) (v n − u n) tend vers 0. Théorème : Deux suites adjacentes convergent, et elles ont la même limite!

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Ce cours explique la définition, l'exemple et le théorème de convergence des suites adjacentes, qui sont deux suites dont la différence converge vers 0. Il donne aussi une démonstration du théorème en utilisant le jeu du R.O.C du BAC de France Métropolitaine.

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Théorème. Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite. Démonstration . Le principe. On montre que l’une des deux suites est plus grande que l’autre : on en déduit qu’on est en présence d’une suite croissante majorée et d’une autre décroissante minorée .

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Le résultat principal à retenir est que si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers une limite commune. Ainsi, pour démontrer une convergence, il peut être utile de construire deux suites adjacentes et d’utiliser le théorème qui va suivre.

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Théorème : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite Démonstration : ^[\(\forall n\geqslant n_0\), on a : \(u_n\leqslant v_n\leqslant v_0\) (d'après les conditions 1.

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Soient \((U_n)_{n\in N}\) et \(V_n\) 2 suites réelles. On dit que \(U_n\) et \(V_n\) sont adjacentes si: \(U_n\) est croissante et \(V_n\) est décroissante \(\forall n\in \Bbb N, U_n\leq V_n\) \(\underset{n\longrightarrow\infty}\lim (U_n-V_n)=0\) \(\triangleright\) Théorème: Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.